1 交替极化阵列与信号接收模型

1.1 阵列结构与模型假设

极化敏感阵列是一个均匀的线性阵列,它由N个正交偶极子对构成,每个阵元的2个正交偶极子分别等间距地排列在X轴和Y轴,相邻阵元之间的距离d为半波长,如图1所示. 而交替极化阵列相当于极化敏感阵元交替抽取X方向和Y方向偶极子,如图2所示.

图  1  极化敏感阵列结构示意

Figure  1.  Structure of polarization sensitive array

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图  2  交替极化敏感阵列结构示意

Figure  2.  Structure of alternate polarization sensitive array

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本文在理想环境下研究,需要一些前提假设,如理想阵元假设、远场假设、传播介质假设等,本文对一维均匀线阵研究,暂且忽略方位角对阵列性能的影响.

1.2 阵列导向矢量

不失一般性,假设所有接收信号入射波都在YOZ平面,即φ=π/2,根据文献[1]可知,极化敏感阵列的接收极化矢量为

S_P,PSA= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{E}_X\\ E_Y\end{array}\right]\end{array}$ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos\gamma }\\ \mathit{sin\gamma }{e}^{\mathit{j\eta }}\end{array}\right]\end{array}$ (1)

式中:E_X、E_Y为原点位置的归一化电场分量;γ、η分别为完全极化电磁波的极化角和极化角相差;极化阵列接收信号的导向矢量S_PSA为接收极化导向矢量S_P,PSA与空间导向矢量S_S,PSA的Kronecher积. 即

S_PSA=S_P,PSA $⨂$ S_S,PSA (2)

式中:“ $⨂$ ”表示Kronecher积;空间导向矢量为S_S,PSA= (1 q q² … q^N-1)^T,其中q= $\begin{array}{c}{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }\mathit{dsin\theta }}\end{array}$ =e^{jπsin θ}(λ为2的情况下取得)为空间相移因子,d=λ/2为间距,θ表示波达方向.

交替极化敏感阵列在Y方向上的接收矢量相对X方向存在着空间相移,因此,交替极化敏感阵列的接收极化导向矢量为

S_P,ASA= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{E}_X\\ q{E}_Y\end{array}\right]\end{array}$ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos\gamma }\\ \mathit{sin\gamma }{e}^{j(\eta +\mathit{\pi sin\theta })}\end{array}\right]\end{array}$ (3)

所以,接收极化导向矢量S_P,ASA与空间导向矢量S_S,ASA的Kronecher积即为交替极化阵列接收信号的导向矢量S_ASA,且

S_ASA=S_P,ASA $⨂$ S_S,ASA (4)

1.3 阵列接收信号模型

假定阵列接收信号模型为

X(t)=E_s(t)a(t)+E_i(t)b(t)+N(t) (5)

式中:E_i(t)为交替极化敏感阵列接收干扰信号的极化域-空域联合导向矢量;E_s(t)为交替极化敏感阵列接收期望信号的极化域-空域联合导向矢量;a(t)为期望的时域信号;b(t)为干扰的时域信号;N(t)为均值为0、方差为σ²的加性高斯白噪声.

2 交替极化阵列投影滤波分析

2.1 斜投影极化滤波

传统斜投影滤波对极化参数要求较高,必须已知期望和干扰的极化参数. 通常情况下,敌方实施的干扰信号功率要比期望信号功率大很多,并且敌方实施的干扰信号相对比较固定,实时估计干扰极化参数并不难,鉴于此,本文以期望信号极化参数未知,而干扰信号极化参数已知为前提条件,推导获取斜投影滤波算子,最终达到有效滤除干扰的目的.

设定期望信号和干扰信号的极化参数分别为(γ_s,η_s)和(γ_i,η_i),其中期望信号极化参数为未知量,期望信号和干扰信号的空间到达角分别为θ_s、θ_i,期望与干扰的空域-极化域联合导向矢量分别为

E_s(t)= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos}{\gamma }_s\\ \mathit{sin}{\gamma }_s{e}^{j({\eta }_s+\mathit{\pi sin}{\theta }_s)}\end{array}\right]\end{array}$ E_s $\begin{array}{c}{e}^{j{\omega }_{s}t}\end{array}$ (6)

E_i(t)= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos}{\gamma }_i\\ \mathit{sin}{\gamma }_i{e}^{j({\eta }_i+\mathit{\pi sin}{\theta }_i)}\end{array}\right]\end{array}$ E_i $\begin{array}{c}{e}^{j{\omega }_{i}t}\end{array}$ (7)

定义

S_o= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos}{\gamma }_s\\ \mathit{sin}{\gamma }_s{e}^{j({\eta }_s+\mathit{\pi sin}{\theta }_s)}\end{array}\right]\end{array}$ (8)

S_i= $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathit{cos}{\gamma }_i\\ \mathit{sin}{\gamma }_i{e}^{j({\eta }_i+\mathit{\pi sin}{\theta }_i)}\end{array}\right]\end{array}$ (9)

S_o、S_i均为列向量,当它们满足期望信号和干扰信号具有不同的极化状态时,<S_o>与<S_i>就会无交连,其中,<S_o>表示期望信号极化子空间,<S_i>表示干扰信号极化子空间.

子空间<S_o>与子空间<S_i>存在互易性,此处为了更好地说明问题,暂且忽略噪声影响,沿着与期望子空间<S_o>平行的方向到干扰子空间<S_i>的斜投影算子E_io定义为

E_io=[S_i 0] $\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{cc}{S^H}_i{S}_i& {S^H}_i{S}_o\\ {S^H}_o{S}_i& {S^H}_o{S}_o\end{array}\right)}^{†}\end{array}\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{S^H}_i\\ {S^H}_o\end{array}\right]\end{array}$ (10)

式中:†为矩阵的广义逆 ;H为矩阵的Hermitian共轭转置;0为零矩阵.

斜投影算子具有性质

E_ioS_o=0,E_ioS_i=S_i (11)

进一步简化为

E_io=S_i $\begin{array}{c}({S^H}_i{P}_o^{\perp }{S}_i{)}^{-1}\end{array}\begin{array}{c}{S^H}_i\end{array}\begin{array}{c}{P}_o^{\perp }\end{array}$ (12)

式中, $\begin{array}{c}{P}_o^{\perp }\end{array}$ =E-S_o $\begin{array}{c}({S^H}_o{S}_o{)}^{-1}\end{array}\begin{array}{c}{S^H}_o\end{array}$ 为期望空间的正交补空间,E为单位矩阵.

根据斜投影算子如式(11)所示的运算性质,接收信号通过斜投影矩阵后的结果为

E_ioX(t)=E_io[E_s(t)a(t)+E_i(t)b(t)]=E_ioE_s(t)a(t)+E_ioE_i(t)b(t)=E_ioαS_oa(t)+E_ioβS_ib(t)=0+E_i(t)b(t)=E_i(t)b(t) (13)

实验发现,在暂时忽略噪声影响的情况下,当接收信号通过斜投影滤波算子后,期望信号被完全滤除,只保留了干扰信号. 再根据期望空间和干扰空间的互易性,用原始接收信号与经过斜投影滤波算子后得到的干扰信号做差,可得到干净的期望信号.

E_s(t)a(t)=X(t)-E_ioX(t)=E_s(t)a(t)+E_i(t)b(t)-E_i(t)b(t)=E_s(t)a(t) (14)

可以看出,原始接收信号通过新的斜投影滤波算子后期望信号被完全滤除,只保留了干扰信号,但利用对消原理,可以较完整地提取出纯净的期望信号,从而实现了在期望信号极化参数未知的情况下,也可以有效地实现滤波.

根据式(13)(14),计算得到干扰信号功率P_oi和P_os期望信号功率如下:

P_oi= $\begin{array}{c}\Vert E_{i}b\left(t\right){\Vert }^2\end{array}$ =P_i $\begin{array}{c}\Vert E_i{\Vert }^2\end{array}$ (15)

P_os= $\begin{array}{c}\Vert E_{s}a\left(t\right){\Vert }^2\end{array}$ =P_o $\begin{array}{c}\Vert E_s{\Vert }^2\end{array}$ (16)

2.2 正交投影滤波

传统上对极化滤波的研究大多是基于正交投影的原理,当期望信号极化参数和干扰信号极化参数逐渐接近时,会存在越来越严重的信号损耗,这是正交投影滤波相对斜投影滤波的一大缺陷. 传统算法中关于正交投影滤波损失问题已经有过多次验证了,但具体损失量大小,以及影响损失量的因素,仍旧没有一个确定的衡量标准.

改进的正交投影滤波算法主要是从2个方面进行的:1) 接收信号模型从设备量较大的极化敏感阵列拓展到设备量减半而滤波效果不受影响的交替极化敏感阵列;2) 滤波后信号损失量由定性分析变为定量分析.

结合干扰信号的极化参数,构造交替极化正交投影滤波算子,该算子矢量与干扰矢量正交,当交替极化正交投影滤波算子与原始接收信号进行点乘运算后,干扰信号可以被有效滤除.

对协方差矩阵R进行分解,具体分解为干扰信号子空间和噪声子空间,并且要求这2个子空间相互正交. 然后将原始接收信号向干扰信号子空间的正交补空间做投影,原始接收信号投影后,干扰分量被完全滤除,同时,输出信噪比(signal-noise ration,SNR)也达到最大,由文献[8]可知,当S_o达到最大,而S_i取得最小值时的权矢量为

ω=μ $\begin{array}{c}{P}_i^{\perp }\end{array}$ S_o (17)

式中: $\begin{array}{c}{P}_i^{\perp }\end{array}$ =E-S_i $\begin{array}{c}({S^H}_i{S}_i{)}^{-1}\end{array}\begin{array}{c}{S^H}_i\end{array}$ 为干扰空间的正交补空间;μ为任意常数. 权矢量的意义可解释为将期望信号向干扰信号的正交补空间(也就是将S_o向 $\begin{array}{c}{P}_i^{\perp }\end{array}$ )做投影得到.

为了减少计算量,取μ=1/‖S_osin ϕ‖,ϕ为期望信号与干扰信号导向矢量夹角.

根据文献[9]对矩阵分析,对式(17)进一步推导,则

ω=μ $\begin{array}{c}{P}_i^{\perp }\end{array}$ S_o= $\begin{array}{c}\frac{P_i^{\perp }{S}_o}{\Vert S_o\mathit{sin\varphi }\Vert }\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{\Vert S_o\mathit{sin\varphi }\Vert }\end{array}$ [E- $\begin{array}{c}\frac{S_i{S^H}_i}{\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ ]S_o(18)

原始接收信号与该正交投影滤波算子进行点乘后的结果为

ω^HX(t)=ω^HE_s(t)a(t)+ω^HE_i(t)b(t)+ω^HN(t)= $\begin{array}{c}\frac{1}{\Vert S_o\mathit{sin\varphi }\Vert }\end{array}$ [I- $\begin{array}{c}\frac{S_i{S^H}_i}{\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ ]S_o $\begin{array}{c}{S^H}_o\end{array}$ a(t)+ω^HβS_ib(t)+ω^HN(t)= $\begin{array}{c}\frac{1}{\Vert S_o\mathit{sin\varphi }\Vert }\end{array}$ [ $\begin{array}{c}{S^H}_o\end{array}$ S_o- $\begin{array}{c}\frac{S_i{S^H}_i{S^H}_o{S}_o}{\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ ]a(t)+0+ω^HN(t)= $\begin{array}{c}\frac{1}{\Vert S_o\mathit{sin\varphi }\Vert }\end{array}$ [ $\begin{array}{c}\Vert S_o{\Vert }^2\end{array}$ - $\begin{array}{c}\frac{\Vert S_o{\Vert }^2\Vert S_i{\Vert }^2\mathit{cos}{}^2\varphi }{\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ ]a(t)+ω^HN(t)=‖S_osin ϕ‖a(t)+ω^HN(t)(19)

由式(19)可以看出,原始接收信号通过正交投影滤波算子后,干扰信号被完全滤除,而且期望信号的幅度也出现了一定的损失,损失量的大小为sin ϕ,期望信号功率由式(19)计算得到,即

P_RS=P_o $\begin{array}{c}\Vert S_o{\Vert }^2\end{array}$ sin ²ϕ (20)

滤波后期望信号功率变为原来的sin²ϕ倍.

2.3 2种投影滤波技术对比分析

通过以上的理论分析,选取特定的指标参量对比它们的滤波性能,参照文献[10-11],本文选取最大信号与干扰加噪声比(signal to interfereme plus noise ration,SINR)准则对接收信号式(5)进行滤波的最优加权为

ω_opt=μR^-1S_o (21)

式中:R=R_n+R_i= $\begin{array}{c}{\sigma }_0^2\end{array}$ E+P_iS_i $\begin{array}{c}{S^H}_i\end{array}$ ,为噪声信号协方差矩阵和干扰信号协方差矩阵;μ为任意的非0常数;P_i为干扰功率. 此时最大输出信号干扰噪声比为

SINR_max= $\begin{array}{c}\frac{P_o{\omega }^H{S}_o{S^H}_o\omega }{{\omega }^{H}R{\omega }^H}\end{array}$ =P_o $\begin{array}{c}{S^H}_o\end{array}$ R^-1S_o (22)

式中P_o为期望信号功率.

由矩阵求逆引理^[8],对式(22)进行化简得到

SINR_max= $\begin{array}{c}\frac{P_o}{{\sigma }^2}\end{array}$ { $\begin{array}{c}{S^H}_o\end{array}$ S_o- $\begin{array}{c}\frac{P_i}{{\sigma }^2}\end{array}\begin{array}{c}\frac{{S^H}_o{S}_i{S^H}_i{S}_o}{1+\frac{P_i}{{\sigma }^2}\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ }=SNR‖S_o‖²{1- $\begin{array}{c}\frac{\mathit{INR}\Vert S_i{\Vert }^2}{1+\mathit{INR}\Vert S_i{\Vert }^2}\end{array}$ cos ²ϕ} (23)

式中INR= $\begin{array}{c}\frac{P_i}{{\sigma }^2}\end{array}$ 表示干噪比.

通过对式(23)的分析可以发现,接收信号通过改进的斜投影滤波和正交投影滤波后,最大输出SINR是相同的,均为

SINR=SNR‖S_o‖²(1-cos ²ϕ) (24)

上述斜投影滤波中干扰信号极化参数为已知量,但实际情况中,干扰信号极化参数往往是通过参数估计获得的,参数估计的好坏会对滤波造成一定的影响,从而影响滤波性能. 为了衡量干扰信号极化参数估计误差对滤波性能的影响,本文选取输出信干比(signal interference ratio,SIR)作为指标参量,SIR具体定义为

SIR=10lg $\begin{array}{c}\frac{P_{\mathit{os}}}{P_{\mathit{oi}}}\end{array}$ =20lg $\begin{array}{c}\frac{\left|E_S\right(t\left)a\right(t\left)\right|}{\left|E_i\right(t\left)b\right(t\left)\right|}\end{array}$ (25)

式中:P_os为期望信号功率;P_oi为干扰信号功率.

3 仿真实验

实验一:滤波效果对比实验

为验证理论分析的正确性,设定阵元数N=16,阵元间距d=λ/2,信噪比SNR=10dB及干噪比INR=30dB,期望与干扰的方位角均为φ=90°,干扰极化角相差η_i=90°,期望信号俯仰角θ_s=15°.

从图3看出,接收信号通过改进的斜投影滤波算子后,可以实现有效滤波,只要期望信号和干扰信号的极化状态不完全相同,滤波后期望信号幅相特性基本保持不变. 从图4可以看出,原始接收信号通过改进的正交投影滤波算子后,干扰信号也被滤除,但期望信号的幅度也出现了一定量的损失,从原来的幅度3Hz左右变为幅度1.5Hz左右,损失量的大小为sin ϕ,传统的正交投影滤波是无法确定期望信号滤波损失量的.

图  3  斜投影滤波仿真

Figure  3.  Oblique projection filter simulation

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图  4  正交投影滤波仿真

Figure  4.  Orthogonal projection filter simulation

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从图5可以发现,接收信号通过斜投影滤波后期望信号功率基本保持不变,通过正交投影滤波后期望信号会出现损失,信号功率变为原来的sin²ϕ.

图  5  2种滤波技术输出期望信号功率对比曲线

Figure  5.  Output expected signal power contrast curve of two kinds of filtering technology

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实验二:滤波性能对比实验

实验参数同实验一,为了进一步研究2种滤波技术的最大输出信干噪比,分别做了干扰信号极化角与干扰信号俯仰角对SINR的影响实验. 如图6所示.

图  6  干扰信号极化角对SINR的影响曲线

Figure  6.  Influence curve of polarization angle of interference signal on SINR

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图  7  干扰信号俯仰角对SINR的影响曲线

Figure  7.  Influence curve of pitch angle of interference signal on SINR

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从图6、7可以看出,斜投影滤波算法和正交投影滤波算法的输出SINR始终相等,相比正交投影滤波而言,斜投影滤波的输出SINR并没有实质性的改善.

同时,本文选取的期望信号俯仰角为θ_s=15°,从图7可以看出,当干扰信号的俯仰角θ_i≈15°时,干扰信号的俯仰角对SINR的影响达到最小,随着期望信号和干扰信号的俯仰角差别增大,SINR随之增大.

为了进一步研究干扰信号极化参数估计误差对斜投影滤波性能的影响,本实验给出了不同干扰和期望信号极化角差时,输出信号信干比随干扰参数估计误差的变化情况,此时SIR为变量,其他相关实验参数同上,如图8所示.

图  8  干扰信号极化参数估计误差对斜投影滤波SIR影响曲线

Figure  8.  Influence curve of polarization parameter estimation error of interference signal of oblique projection filter on SIR

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从图8中可以看出,在干扰信号和期望信号的极化角相差相同的情况下,当干扰信号与期望信号的极化角越来越接近时,输出信号的SIR逐渐减小,干扰信号成分增加,滤波效果减弱;从另一个角度考虑,随着干扰信号极化参数估计误差增大,而且误差在1°之内,SIR减小的幅度最大,抑制干扰的能力也迅速减弱. 所以干扰信号的极化参数估计精度将会直接影响本文的斜投影滤波性能,在后续的工作中将会对极化参数估计作重点研究.

4 结论

1) 针对极化敏感阵列设备量大、天线成本高等问题,本文选取交替极化敏感阵列结构为信号接收模型,有效地解决了实际雷达系统中性价比较低的问题.

2) 本文在期望信号极化参数未知的情况下有效地实现了对干扰的滤除,拓展了斜投影滤波的限制条件. 同时,解决了传统正交投影滤波中无法定量分析滤波损失量的问题.