非均质三维Navier-Stokes方程模型的整体正则性

邵曙光; 葛玉丽; 王术; 徐文青

doi:10.11936/bjutxb2016040094

非均质三维Navier-Stokes方程模型的整体正则性

doi: 10.11936/bjutxb2016040094

邵曙光^1,,
葛玉丽^2,, ,,
王术¹,
徐文青¹

1.
北京工业大学应用数理学院, 北京 100124
2.
南阳师范学院数学与统计学院, 河南南阳 473061

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11371042)；北京市自然科学基金资助项目(1132006)

详细信息

作者简介:
作者简介: 邵曙光(1980— ), 男, 博士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:ssg@emails.bjut.edu.cn

通讯作者:
葛玉丽(1981— ), 女, 硕士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:yulixli@126.com

中图分类号: O175.29
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出版历程
- 收稿日期: 2016-04-28
- 网络出版日期: 2022-09-13
- 刊出日期: 2017-02-01

Global Regularity for a Model of Inhomogeneous Three-dimensional Navier-Stokes Equations

SHAO Shuguang^1
,,
GE Yuli^{2,
, ,},
WANG Shu¹,
XU Wenqing¹

1.
College of Applied Sciences, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
2.
School of Mathematics and Statistics, Nanyang Normal University, Nanyang 473061, Henan, China

摘要

摘要: 考虑一个非均质三维Navier-Stokes方程模型,借助能量方法、Littlewood-Paley仿积分解技巧和Sobolev嵌入定理研究解的整体正则性. 用-D²u近似替代经典非均质Navier-Stokes方程中的耗散项Δu,得到一个新的Navier-Stokes方程模型,其中D是一个傅里叶乘子,其特征是m(ξ)=|ξ|^5/4,对于任意小的正常数ε和δ,当初值(ρ₀,u₀)∈H³^/²^+ε×H^δ时,证明了该模型解的爆破准则和整体正则性.
- 非均质Navier-Stokes方程 /
- Littlewood-Paley仿积分解 /
- 整体正则性 /
- 爆破准则
Abstract: A model of inhomogeneous three-dimensional Navier-Stokes equations was studied in this paper. By using the energy method, Littlewood-Paley paraproduct decomposition techniques and Sobolev embedding theorem study of the global regularity of solutions were adopted. The dissipative term Δu in the classical inhomogeneous Navier-Stokes equations is replaced by -D²u and a new Navier-Stokes equations model was obtained, where D was a Fourier multiplier whose symbol is m(ξ)=|ξ|⁵^/⁴. Blow-up criterion and global regularity of this model were proved for the initial data (ρ₀,u₀)∈H³^/²^+ε×H^δ, where ε and δ are arbitrary small positive constants.
- inhomogeneous Navier-Stokes equations /
- Littlewood-Paley paraproduct decomposition /
- global regularity /
- blow-up criterion
The authors have declared that no competing interests exist.

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1 主要结果

本文的目的是把均质超耗散Navier-Stokes方程的结果推广到非均质流体. 主要采用Danchin^[12]的证明方法,得到了如下主要结果.

引理1 假设ϑ₀∈H³^/²^+ε,b:= $\begin{matrix} \inf_{x \in R^{3}} \end{matrix}$ (1+ϑ₀(x))>0,u₀∈H^δ且Δ·u₀=0,f∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{loc}^{1} \end{matrix}$ (H^δ),其中,0<ε<1,0<δ< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε. 则存在一个T₀>0,模型(3)存在唯一的解(ϑ,u,ΔΠ)∈ $\begin{matrix} E_{T_{0}} \end{matrix}$ ,其中

$\begin{matrix} E_{T_{0}} \end{matrix}$ := $\begin{matrix} {\tilde{C}}_{T_{0}} \end{matrix}$ (H³^/²^+ε)× $\begin{matrix} ({\tilde{C}}_{T_{0}} (H^{δ}) ⋂ {\tilde{C}}_{T_{0}}^{1} (H^{δ + 5 / 2} {))}^{3} \end{matrix}$ · $\begin{matrix} ({\tilde{L}}_{T_{0}}^{1} (H^{δ} {))}^{3} \end{matrix}$

引理2 假设引理1的条件成立,令T^*是解(ϑ,u,ΔΠ)存在的最大时间,p'是p的共轭指数. 且以下条件成立:

1) 存在ε₀>0,使得

$\begin{matrix} \sup_{t \in [0, T^{*})} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ϑ (t) ‖_{H^{3 / 2 + ε_{0}}} \end{matrix}$ <∞

2) 存在p∈(1,+∞),使得

$\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}^{*}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u (t) ‖_{B_{\infty, \infty}^{- \frac{5}{2 p'}}}^{p} \end{matrix}$ dt<∞

则解(a,u,ΔΠ)在时间大于T^*时仍然存在.

定理1 如果ϑ₀∈H³^/²^+ε,b= $\begin{matrix} \inf_{x \in R^{3}} \end{matrix}$ (1+ϑ₀(x))>0,u₀∈H^δ且Δ·u₀=0,f∈ $\begin{matrix} L_{loc}^{2} \end{matrix}$ (R⁺;L²),其中,0<ε<1,0<δ< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε,则模型(3)存在唯一的整体解(ϑ,u,ΔΠ)∈E_T,其中任意的T>0,定义

E_T:= $\begin{matrix} {\tilde{C}}_{T} \end{matrix}$ (H³^/²^+ε) $\begin{matrix} ({\tilde{C}}_{T} (H^{δ}) ⋂ {\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ + 5 / 2} {))}^{3} \end{matrix}$ · $\begin{matrix} ({\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ} {))}^{3} \end{matrix}$

下面将对文中的一些符号和定义给出说明.

注1 对于ρ∈[1,+∞),s∈ℝ,T∈(0,+∞),表达式u∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s)指的是u∈S'([0,T]×ℝ^N),且有

‖u $\begin{matrix} ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{ρ} (H^{s})} \end{matrix}$ =( $\begin{matrix} \sum_{q \geq - 1} \end{matrix}$ 2²^qs( $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Δ_{q} u (t) ‖_{L^{2}}^{ρ} \end{matrix}$ dt) $\begin{matrix} ^{\frac{2}{ρ}} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$

用ess $\begin{matrix} \sup_{t \in [0, T]} \end{matrix}$ ‖·‖表示当ρ=∞时u∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s)的范数,并分别记

$\begin{matrix} {\tilde{L}}_{loc}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s)= $\begin{matrix} \overset{}{⋂_{T > 0}} \end{matrix} \begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s)

$\begin{matrix} {\tilde{C}}_{T} \end{matrix}$ (H^s)=C([0,T];H^s)∩ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{\infty} \end{matrix}$ (H^s)

$\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s∩L^∞)= $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (H^s)∩ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{ρ} \end{matrix}$ (L^∞)

注2 Bony的仿积分解定义^[14]. 记u,v∈S'(R^d),形式演算有

u= $\begin{matrix} \sum_{j'} \end{matrix}$ Δ_j'u,v= $\begin{matrix} \sum_{j} \end{matrix}$ Δ_jv,uv= $\begin{matrix} \sum_{j', j} \end{matrix}$ Δ_j'uΔ_jv

定义u与v的仿积为

T_uv:= $\begin{matrix} \sum_{j} \end{matrix}$ S_j-₁uΔ_jv,T_vu:= $\begin{matrix} \sum_{j} \end{matrix}$ S_j-₁vΔ_ju

仿积的余项R(u,v)定义为

R(u,v):= $\begin{matrix} \sum_{| j - j' | \leq 1} \end{matrix}$ Δ_j'uΔ_jv

于是,uv的Bony分解可以形式的表示成

uv=T_uv+T_vu+R(u,v)

2 准备工作

利用文献[12,15]的方法,可以得到以下几个命题,证明略.

命题1 若1<p<∞,p'是p的共轭指数,T>0,则对于任意的常数K>0,下面的估计成立.

1) 如果s< $\begin{matrix} \frac{5}{2 p} \end{matrix}$ ,则有

‖ $\begin{matrix} T_{\partial_{i} u} \end{matrix}$ vⁱ $\begin{matrix} ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖Δ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (B_{\infty, 2}^{s})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ v ‖_{B_{2, \infty}^{3 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{B_{\infty, 2}^{s - 5 / 2}} \end{matrix}$ dt

2) 对一切s∈R,有

$\begin{matrix} ‖ T_{\partial_{i} v} u^{i} ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ v ‖_{B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

成立. 特别情况,若v=u,则有

$\begin{matrix} ‖ T_{\partial_{i} u} u^{i} ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

3) 如果s>- $\begin{matrix} \frac{5}{2} \end{matrix}$ ,Δ·v=0,则有

$\begin{matrix} ‖ R (v^{i}, \partial_{i} u) ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ v ‖_{B_{2, \infty}^{5 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

4) 如果s>- $\begin{matrix} \frac{5}{2} \end{matrix}$ ,Δ·v=0,则

$\begin{matrix} ‖ R (\partial_{i} v, u^{i}) ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ v ‖_{B_{2, \infty}^{3 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

特别情况,如果v=u,那么当s>-1时,有

$\begin{matrix} ‖ R (\partial_{i} u, u^{i}) ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

命题2 若1<p<∞,p'是p的共轭指数,T>0,s∈(- $\begin{matrix} \frac{5}{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{5}{2 p} \end{matrix}$ ),并且Δ·v=0,那么对于任意的常数K>0,有

(∑ $\begin{matrix} (2^{qs} ‖[v^{i}, Δ_{q}] \partial_{i} u ‖_{L_{T}^{1} (L^{2})})^{2} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +

K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ v ‖_{B_{2, \infty}^{3 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

成立. 特别地,当s>max {-1, $\begin{matrix} \frac{5}{2 p'} \end{matrix}$ }时,有

(∑ $\begin{matrix} (2^{qs} ‖[u^{i}, Δ_{q}] \partial_{i} u ‖_{L_{T}^{1} (L^{2})})^{2} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$ ≤K $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ +K¹^-p $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt

注3 命题2在爆破准则的建立过程中将起到关键性的作用.

命题3 如果s∈(- $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε),ε∈(0,1),T>0,则

(∑ $\begin{matrix} (2^{qs} ‖ D (ϑD Δ_{q} u) - Δ_{q} (ϑ D^{2} u) ‖_{L_{T}^{1} (L^{2})})^{2} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$ ≤‖ϑ $\begin{matrix} ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{ε + 3 / 2})} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{5 / 4 + s - ε})} \end{matrix}$

成立. 为了证明引理1、2,还需要给出以下几个命题^[15^-^16].

命题4^[16] 假设s>- $\begin{matrix} \frac{5}{2} \end{matrix}$ ,ϑ₀∈H^s,g∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{1} \end{matrix}$ (H^s),v是一个向量,ϑ∈C_T(S'(ℝ³))∩ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{1} \end{matrix}$ (H^s)是方程

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} \partial_{t} ϑ + v \cdot Δϑ = g \\ ϑ |_{t = 0} = ϑ_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

的解,那么ϑ∈ $\begin{matrix} {\dot{C}}_{T} \end{matrix}$ (H^s),且存在一个仅依赖于s的常数C,使得当t∈[0,T]时有

$\begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} e^{C \tilde{V} (t)} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ g ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ) (4)

其中, $\begin{matrix} \dot{V} \end{matrix}$ (t)= $\begin{matrix} \{\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} ‖Δ v (τ) ‖_{B_{2, \infty}^{\frac{3}{2}} ⋂ L^{\infty}} dτ, & s < \frac{5}{2}; \\ \int_{0}^{t_{}} ‖Δ v (τ) ‖_{H^{s - 1}} dτ, & s \geq \frac{5}{2} . \end{matrix} \end{matrix}$

命题5^[15] 如果γ,η∈(0,1),T>0,σ∈ℝ,满足γ≤|σ|≤γ+ $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ ,并且ΔΠ满足方程

Δ·(bΔΠ)=ΔF

式中:b=1+ϑ,ϑ∈ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{\infty} \end{matrix}$ (H³^/²^+γ);F∈ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{m} \end{matrix}$ (H^σ). 令 $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ := $\begin{matrix} \inf_{t, x} \end{matrix}$ b(t,x)>0,则

$\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ΔΠ ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{m} (H^{σ})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} (1 + {\bar{b}}^{- 1} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{3 / 2 + γ})})^{\frac{| σ |+ η}{γ}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ F ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{m} (H^{σ})} \end{matrix}$

成立. 为了证明引理1,需要给出下面的命题. 首先引入一个关于速度u的线性系统:

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} u_{t} + v \cdot Δu + b (ΔΠ + D^{2} u) = f \\ Δ \cdot u = Δ \cdot v = 0, u (0, x) = u_{0} \end{matrix} \end{matrix}$ (5)

式中v、b、f、u₀已知. 令

$\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ := $\begin{matrix} \inf_{t, x} \end{matrix}$ b(t,x)>0 (6)

设ϑ:=b-1且ϑ∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T}^{\infty} \end{matrix}$ (H³^/²^+ε),ε∈(0,1).

定义:

R_T:=1+ $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{3 / 2 + ε})} \end{matrix}$

以及

V(t):= $\begin{matrix} \{\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} ‖Δ v (τ) ‖_{H^{s - 1}} dτ, & s > \frac{5}{2} \\ \int_{0}^{t_{}} ‖Δ v (τ) ‖_{H^{\frac{3}{2}} ⋂ L^{\infty}} dτ, & | s |< \frac{5}{2} \\ \int_{0}^{t_{}} ‖Δ u (τ) ‖_{L^{\infty}} dτ, & v = u, s > - 1 \end{matrix} \end{matrix}$

在此基础上,给出命题6,命题6在证明模型的局部适定性中起到关键的作用.

命题6^[15] 若1<p<∞,p'是p的共轭指数,T>0,ε,η∈(0,1),s∈(- $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε),并且u₀∈H^s,f∈ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{1} \end{matrix}$ (H^s),Δ·u₀=0,Δ·v=0,v满足V(t)<∞,b=1+ϑ满足式(6),R_T<∞.

令(u,ΔΠ)∈( $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{\infty} \end{matrix}$ (H^s)∩ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{1} \end{matrix}$ (H^s+⁵^/²)× $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T}^{1} \end{matrix}$ (H^s))³是式(5)的解,定义

χ:= $\begin{matrix} \{\begin{matrix} ε, & 如果 ε \leq s < \frac{3}{2} + ε 或者 - \frac{3}{2} < s \leq 0 \\ \frac{s}{2}, & 如果 0 < s < ε \end{matrix} \end{matrix}$

且κ:= $\begin{matrix} \frac{2 s}{χ} \end{matrix}$ ;κ':= $\begin{matrix} \{\begin{matrix} \frac{s}{ε}, & ε \leq s < \frac{3}{2} + ε; \\ 2, & 0 < s < ε. \end{matrix} \end{matrix}$

那么存在一个仅依赖于s、ε的常数C,使得以下结论成立.

1) 如果0<s< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε,则有

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{s})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ ≤C( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} R_{T}^{κ} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ R_T $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + (5 - χ \frac{)}{2}})} \end{matrix}$ )) $\begin{matrix} e^{C R_{T}^{κ} V (T)} \end{matrix}$ (7)

$\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ΔΠ ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} R_{T}^{κ'} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ +(R_T-1) $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix}$ V'(t) $\begin{matrix} ‖ u (s) ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ dt) (8)

2) 如果0<s<min ( $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε, $\begin{matrix} \frac{5}{2 p} \end{matrix}$ ),那么

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{s})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ ≤C( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} R_{T}^{κ} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ +

$\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ R_T $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + (5 - χ \frac{)}{2}})} \end{matrix}$ )) $\begin{matrix} e^{C R_{T}^{κp} {\bar{b}}^{1 - p} \int_{0}^{T_{}} ‖ Δv (t) ‖_{B_{2, \infty}^{3 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} dt} \end{matrix}$

特别地,如果v=u,0<s< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε,则

$\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ v (t) ‖_{B_{2, \infty}^{3 / 2 - 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix}$ dt

由 $\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u (t) ‖_{B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'}}^{p} \end{matrix}$ dt代替.

3) 如果- $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ <s≤0,那么

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{s})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s + 5 / 2})} \end{matrix}$ ≤C( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{s}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} R_{T}^{(2 ε - s + η) / ε} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s})} \end{matrix}$ +

$\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ R_T $\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{s - ε + 5 / 2})} \end{matrix}$ )) $\begin{matrix} e^{C R_{T}^{(2 ε - s + η) / ε} V (T)} \end{matrix}$

3 主要引理的证明

在前面准备工作的基础上,本节将证明引理1、2,这2个引理描述的分别是模型的局部适定性和爆破准则结果.

3.1 引理1的证明

证明:首先定义(ϑ₀,u₀,f)的近似解

( $\begin{matrix} ϑ_{0}^{n} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} u_{0}^{n} \end{matrix}$ ,fⁿ):=(S_nϑ₀,S_nu₀,S_nf)

显然, $\begin{matrix} ϑ_{0}^{n} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} u_{0}^{n} \end{matrix}$ ∈H^∞,fⁿ∈ $\begin{matrix} L_{loc}^{1} \end{matrix}$ ([0,∞);H^∞),且

$\begin{matrix} ‖ ϑ_{0}^{n} ‖_{H^{\frac{3}{2} + ε}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{\frac{3}{2} + ε}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} ‖ u_{0}^{n} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} ‖ f^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$

利用文献[15]的方法,可知:当初值为(ϑ₀, $\begin{matrix} u_{0}^{n} \end{matrix}$ )、外力为fⁿ时,模型(3)存在唯一的极大解(ϑⁿ,uⁿ,ΔΠⁿ)属于C([0,Tⁿ);H^∞)× $\begin{matrix} (C [0, T^{n}); H^{\infty})^{3} \end{matrix} \begin{matrix} (L_{loc}^{1} (0, T^{n}; H^{\infty} {))}^{3} \end{matrix}$ .

令 $\begin{matrix} R_{T}^{n} \end{matrix}$ :=1+ $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ϑ^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{3 / 2 + ε})} \end{matrix}$ Uⁿ(t)= $\begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ + 5 / 2})} \end{matrix}$

用特征线方法,易知当n充分大时有

$\begin{matrix} \frac{\bar{b}}{2} \end{matrix}$ ≤1+ $\begin{matrix} \inf_{x \in R^{3}} \end{matrix} \begin{matrix} ϑ_{0}^{n} \end{matrix}$ (x)=1+ $\begin{matrix} \inf_{x \in R^{3}} \end{matrix}$ ϑⁿ(x)≤1+ $\begin{matrix} \sup_{x \in R^{3}} \end{matrix}$ ϑⁿ(x)≤1+2 $\begin{matrix} \sup_{x \in R^{3}} \end{matrix}$ ϑ₀(x)

在命题4中取v=uⁿ,g=0,s= $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε,则有

$\begin{matrix} ‖ ϑ^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{3 / 2 + ε})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{3 / 2 + ε}} \end{matrix} \begin{matrix} e^{C \int_{0}^{t_{}} ‖Δ u^{n} (τ) ‖_{B_{2, \infty}^{\frac{3}{2}} ⋂ L^{\infty}}^{p} dτ} \end{matrix}$ (9)

同时,在命题6的1)中取s=δ,则有

Uⁿ(t)≤C( $\begin{matrix} R_{t}^{n} \end{matrix}$ )^κ+¹ $\begin{matrix} e^{C (R_{t}^{n})^{κ} \int_{0}^{t_{}} ‖Δ u^{n} (τ) ‖_{L^{\infty}} dτ} \end{matrix}$ ·( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ + (5 - χ \frac{)}{2}})} \end{matrix}$ ) (10)

由内插不等式,得

$\begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ + (5 - χ \frac{)}{2}})} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} t^{\frac{χ}{5}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{δ})}^{\frac{χ}{5}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ + 5 / 2})}^{1 - \frac{χ}{5}} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ t $\begin{matrix} )^{\frac{χ}{5}} \end{matrix}$ Uⁿ(t) (11)

$\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u (τ) ‖_{B_{2, \infty}^{\frac{3}{2}} ⋂ L^{\infty}} \end{matrix}$ dτ≤C $\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u (τ) ‖_{B_{2,1}^{\frac{3}{2}}} \end{matrix}$ dτ≤C $\begin{matrix} t^{\frac{2 δ}{5}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{δ})}^{\frac{2 δ}{5}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ + 5 / 2})}^{1 - 2 δ / 5} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ t $\begin{matrix} )^{\frac{2 δ}{5}} \end{matrix}$ Uⁿ(t)(12)

由式(9)(12)可得

$\begin{matrix} ‖ ϑ^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{3 / 2 + ε})} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{3 / 2 + ε}} \end{matrix} \begin{matrix} e^{C {\bar{b}}^{- 1} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t)} \end{matrix}$ (13)

所以

$\begin{matrix} R_{T}^{n} \end{matrix}$ ≤CR₀ $\begin{matrix} e^{C {\bar{b}}^{- 1} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t)} \end{matrix}$ (14)

式中:R₀:=1+ $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{3 / 2 + ε}} \end{matrix}$ .

把式(11)(12)(14)代入到式(10)中,可得

Uⁿ(t)≤C(R₀ $\begin{matrix} e^{C {\bar{b}}^{- 1} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t)} \end{matrix}$ )^κ+¹· $\begin{matrix} e^{C {\bar{b}}^{- 1} (R_{0} e^{(C {\bar{b}}^{- 1} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t))})^{κ} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t)} \end{matrix}$ ·( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} {(\bar{b} t)}^{\frac{χ}{5}} \end{matrix}$ Uⁿ(t)) (15)

假设

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} C {\bar{b}}^{- 1} (2 R_{0})^{κ} {(\bar{b} t)}^{\frac{2 δ}{5}} U^{n} (t) \leq \lg 2 \\ C 2^{κ + 2} R_{0}^{κ + 1} {(\bar{b} t)}^{\frac{χ}{5}} \leq \frac{1}{2} \end{matrix} \end{matrix}$ (16)

则由式(13)(15)可得

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} ‖ ϑ^{n} ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{\infty} (H^{3 / 2 + ε})} \leq 2 ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{3 / 2 + ε}} \\ U^{n} (t) \leq C 2^{κ + 3} R_{0}^{κ + 1} (‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} + ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{t}^{1} (H^{δ})}) \end{matrix} \end{matrix}$ (17)

选取足够小的T₀,则有

C $\begin{matrix} {\bar{b}}^{- 1} \end{matrix}$ 2²^κ+³ $\begin{matrix} R_{0}^{2 κ + 1} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T_{0}}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ )·( $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ T₀ $\begin{matrix} )^{\frac{2 δ}{5}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$ lg 2 (18)

C2^κ+² $\begin{matrix} R_{0}^{κ + 1} \end{matrix} \begin{matrix} (\bar{b} T_{0})^{\frac{χ}{5}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$ (19)

易知,如果t≤T₀,t<Tⁿ,那么式(16)一定成立. 由连续性方法可知:Tⁿ>T₀,且0≤t≤T₀时,式(17)成立. 由式(8)(17),可以推出(ϑⁿ,uⁿ,ΔΠⁿ)在空间 $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T_{0}}^{\infty} \end{matrix}$ (H^ε+³^/²)× $\begin{matrix} ({\dot{L}}_{T_{0}}^{\infty} (H^{δ}) ⋂ {\dot{L}}_{T_{0}}^{1} (H^{δ + 5 / 2} {))}^{3} \end{matrix} \begin{matrix} ({\dot{L}}_{T_{0}}^{1} (H^{δ} {))}^{3} \end{matrix}$ 中一致有界. 再利用标准的紧方法,可知(ϑⁿ,uⁿ,ΔΠⁿ)收敛到极限(ϑ,u,ΔΠ)∈ $\begin{matrix} E_{T_{0}} \end{matrix}$ .

最后,采用文献[10]的方法,由命题6的结果能够证明模型(3)存在唯一的解(ϑ,u,ΔΠ)∈ $\begin{matrix} E_{T_{0}} \end{matrix}$ .

引理1证明完毕.

3.2 引理2的证明

证明:不失一般性,假设当0<ε₀<ε时

ϑ∈ $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T^{*}}^{\infty} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} H^{ε_{0} + 3 / 2} \end{matrix}$ )

在命题6的2)中,取ε=ε₀,v=u,s=δ,可知存在一个仅依赖于K:= $\begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{\infty} (H^{ε' + 3 / 2})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖Δ u ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{p} (B_{\infty, \infty}^{- 5 / 2 p'})} \end{matrix}$ 的常数C_K,使得对于任意的0<T<T^*,有

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ + 5 / 2})} \end{matrix}$ ≤C_Κ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ + (5 - χ \frac{)}{2}})} \end{matrix}$ )

由Young不等式,对任意0<T<T^*有

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{\infty} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ + 5 / 2})} \end{matrix}$ ≤C_Κ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{{\tilde{L}}_{T}^{1} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix}$ T $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L_{T}^{\infty} (L^{2})} \end{matrix}$ )

根据基本能量估计和ρ的有界性,可知当0<δ< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε₀时

$\begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{\infty} (H^{δ})} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \bar{b} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{1} (H^{δ + 5 / 2})} \end{matrix}$ <∞ (20)

由式(20)和命题4,可得

$\begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{\infty} (H^{ε + 3 / 2})} \end{matrix}$ <∞ (21)

结合式(21)的结果,重复上面的推导过程,可知对于任意的0<δ< $\begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}$ +ε,式(20)恒成立.

又因为 $\begin{matrix} ‖ ϑ (t) ‖_{H^{ε + 3 / 2}} \end{matrix}$ 和 $\begin{matrix} ‖ u (t) ‖_{H^{δ}} \end{matrix}$ 关于t连续,可以定义

$\begin{matrix} \lim_{t \to T^{*}} \end{matrix}$ ϑ(t,·)=ϑ(T^*), $\begin{matrix} \lim_{t \to T^{*}} \end{matrix}$ u(t,·)=u(T^*)

用(ϑ(T^*),u(T^*))∈H³^/²^+ε×H^δ作为一个新的初值,应用引理1的结果,可以把解(ϑ,u,ΔΠ)延拓到大于T^*的区间.

引理2证明完毕.

4 定理的证明

证明:为了证明定理,需要建立几个先验估计. 令(ρ,u,ΔΠ)是式(2)的解,则存在一个常数C,对所有t∈[0,T]成立如下先验估计.

$\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du (τ) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ dτ≤3 $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})}^{2} \end{matrix}$ )(22)

$\begin{matrix} ‖ Du (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (τ) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ dτ≤C( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{H^{\frac{5}{4}}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ (1+ $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{2} (L^{2})}^{2} \end{matrix}$ )· $\begin{matrix} e^{C (\inf_{x \in R^{3}} ρ_{0})^{1 - p / 2} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p} (1 + ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p / 2 - 1}) (‖ u_{0} ‖_{L^{2}}^{p} + ‖ f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})}^{p})} \end{matrix}$ (23)

式中p∈[3,∞). 另外,存在一个仅依赖于u₀、ρ₀、f的常数 $\hat{C}$ ,使得

$\begin{matrix} \int_{0}^{T_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u (t) ‖_{{\overset{\cdot}{H}}^{\frac{5}{2}}}^{2} \end{matrix}$ dt≤ $\hat{C}$ (24)

下面推导这几个先验估计. 在方程

ρ(u_t+uΔu)+D²u+ΔΠ=ρf (25)

的两边同乘以u关于x积分可得

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{d}{dt} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ Du (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (t) ‖_{L^{2}}^{} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} f ‖_{L^{2}}^{} \end{matrix}$ (26)

进一步可以推出

$\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (t) ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ_{0}} u_{0} ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{\frac{1}{2}} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})} \end{matrix}$ ) (27)

把式(27)代入到式(26)中,可得

$\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ +2 $\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du (τ) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ dτ≤ $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ_{0}} u_{0} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ +2 $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} ‖ u_{0} ‖_{L^{2}}^{} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})}^{} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{1} (L^{2})}^{} \end{matrix}$ (28)

先验估计式(22)得到验证.

另外,在式(25)的两边同乘以u_t关于x积分可得

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{d}{dt} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du (t) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ f ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ uΔu ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ (29)

对 $\begin{matrix} ‖ u \cdot Δu ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ 用内插不等式,可得

$\begin{matrix} ‖ u \cdot Δu ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{\frac{2 p}{p - 2}}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{L^{p}} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{2}}^{1 - 3 / p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{L^{2}}^{5 / p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{{\overset{\cdot}{H}}^{\frac{3}{2}}}^{1 - 2 / p} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{2}}^{1 - 3 / p} \end{matrix} \begin{matrix} (‖ u ‖_{L^{2}}^{\frac{1}{5}} ‖ u ‖_{{\overset{\cdot}{H}}^{\frac{5}{4}}}^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{p}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖Δ u ‖_{{\overset{\cdot}{H}}^{\frac{3}{2}}}^{1 - 2 / p} \end{matrix}$ =C $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{2}}^{1 - 2 / p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du ‖_{L^{2}}^{4 / p} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ D^{2} u ‖_{L^{2}}^{1 - 2 / p} \end{matrix}$ (30)

接下来估计 $\begin{matrix} ‖ D^{2} u ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ ,在式(25)的两边同乘以D²u关于x积分,并利用条件Δ·u=0,得

$\begin{matrix} ‖ D^{2} u ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ ≤ $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ f ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ_{0}} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}}^{} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ uΔu ‖_{L^{2}}^{} \end{matrix}$ (31)

把式(31)代入到式(30)中,由Young不等式可得

$\begin{matrix} ‖ D^{2} u ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ ≤C( $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ f ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ_{0}} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p / 2} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{2}}^{p / 2 - 1} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ ) (32)

联合式(29)(30)(32),并应用Young不等式得

$\begin{matrix} \frac{d}{dt} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ ≤C( $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{2} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u_{t} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ +C( $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p - 1} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p / 2} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L^{2}}^{p - 2} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ Du ‖_{L^{2}}^{4} \end{matrix}$

由Gronwall不等式,可得

$\begin{matrix} ‖ Du ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} \int_{0}^{t_{}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ \sqrt[]{ρ} u (τ) ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ dτ≤C( $\begin{matrix} ‖ D u_{0} ‖_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ (1+ $\begin{matrix} ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}} \end{matrix}$ ) $\begin{matrix} ‖ f ‖_{L_{t}^{2} (L^{2})}^{2} \end{matrix}$ )· $\begin{matrix} e^{C (\inf_{x \in R^{3}} ρ_{0})^{1 - p / 2} (‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p - 1} + ‖ ρ_{0} ‖_{L^{\infty}}^{p / 2}) ‖ \sqrt[]{ρ} u ‖_{L_{t}^{\infty} (L^{2})}^{p - 2} \int_{0}^{t_{}} ‖ Du (τ) ‖_{L^{2}}^{2} dτ} \end{matrix}$ (33)

结合式(33)和式(22),可以得到先验估计式(23). 由式(32)可以得到先验估计式(24).

接下来,继续定理的证明. 假设T^*<∞,由引理1知:存在唯一的解(ϑ,u,ΔΠ)∈ $\begin{matrix} E_{T_{0}} \end{matrix}$ . 在空间 $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T_{0}}^{\infty} \end{matrix}$ (H^δ)和 $\begin{matrix} {\tilde{L}}_{T_{0}}^{1} \end{matrix}$ (H^δ+⁵^/²)之间应用内插公式,可得u∈ $\begin{matrix} L_{T_{0}}^{2} \end{matrix}$ (H^δ+⁵^/⁴). 那么一定存在T₁∈(0,T₀)使得u(T₁)∈H^δ+⁵^/⁴⊂H⁵^/⁴,用u(T₁)作为一个新的初值,由之前的先验估计可得 $\begin{matrix} \int_{T_{1}}^{T^{*}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u (t) ‖_{H^{\frac{5}{2}}} \end{matrix}$ dt<∞. 结合局部估计u∈ $\begin{matrix} {\dot{L}}_{T_{0}}^{1} \end{matrix}$ (H^δ+⁵^/²)⊂ $\begin{matrix} L_{T_{0}}^{1} \end{matrix}$ (H⁵^/²),可得

$\begin{matrix} \int_{0}^{T^{*}} \end{matrix} \begin{matrix} ‖ u (t) ‖_{H^{\frac{5}{2}}} \end{matrix}$ dt<∞(34)

应用文献[16]的定理3.33,取v=u,g=0,β=1/2,T=T^*,则有

$\begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T_{0}}^{\infty} (H^{\frac{3 + ε}{2}})} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ ϑ ‖_{{\tilde{L}}_{T^{*}}^{\infty} (B_{2, \infty}^{(6 + 3 ε \frac{)}{4}})} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{B_{2, \infty}^{ε + \frac{3}{2}}} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖ ϑ_{0} ‖_{H^{\frac{3}{2} + ε}} \end{matrix}$ (35)

这里常数C依赖于ε和 $\begin{matrix} ‖ u ‖_{L_{T^{*}}^{1} (H^{\frac{5}{2}})} \end{matrix}$ .

另外,由式(22)可知,u∈ $\begin{matrix} L_{T^{*}}^{\infty} \end{matrix}$ (L²)∩ $\begin{matrix} L_{T^{*}}^{2} \end{matrix}$ ( $\begin{matrix} {\overset{\cdot}{H}}^{\frac{5}{4}} \end{matrix}$ ),所以Δu∈ $\begin{matrix} L_{T^{*}}^{2} \end{matrix}$ (H¹^/⁴),并且

$\begin{matrix} ‖Δ u ‖_{L_{T^{*}}^{2} (B_{\infty, \infty}^{- 5 / 4})} \end{matrix}$ ≤C $\begin{matrix} ‖Δ u ‖_{L_{T^{*}}^{2} (H^{\frac{1}{4}})} \end{matrix}$ ≤C (36)

结合式(35)(36),在引理2中取ε₀= $\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}$ ε,p=2,则可以把解(ϑ,u,ΔΠ)延拓到大于T^*的区间. 这与T^*是最大值矛盾,因此T^*=∞.

定理证明完毕.

5 结论

1) 借助能量方法、Littlewood-Paley仿积分解技巧和Sobolev嵌入定理,研究了一个非均质三维Navier-Stokes方程模型,证明了该问题的整体正则性.

2) 推广了均值不可压Navier-Stokes方程的正则性理论,并对Navier-Stokes方程整体解的存在唯一性研究提供必要的理论依据.

The authors have declared that no competing interests exist.

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非均质三维Navier-Stokes方程模型的整体正则性

doi: 10.11936/bjutxb2016040094

作者简介:
作者简介: 邵曙光(1980— ), 男, 博士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:ssg@emails.bjut.edu.cn

通讯作者:
葛玉丽(1981— ), 女, 硕士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:yulixli@126.com

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Global Regularity for a Model of Inhomogeneous Three-dimensional Navier-Stokes Equations

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doi: 10.11936/bjutxb2016040094

作者简介: 作者简介: 邵曙光(1980— ), 男, 博士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:ssg@emails.bjut.edu.cn

通讯作者: 葛玉丽(1981— ), 女, 硕士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:yulixli@126.com

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作者简介: 邵曙光(1980— ), 男, 博士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:ssg@emails.bjut.edu.cn

通讯作者:
葛玉丽(1981— ), 女, 硕士研究生, 主要从事应用偏微分方程方面的研究, E-mail:yulixli@126.com